Einführung in die numerische Integration
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[Bearbeiten] Problemstellung bei Flächenberechnungen krummliniger Flächen
Aus der Geometrie sind uns allgemeine Formeln für die Berechnung von Flächen wie Dreiecken, Rechtecken, Quadraten, Parallelogrammen bekannt. Für Kreise und Ellipsen gibt es auch Formeln zur Flächenberechnung.
Wie Sieht es aber aus, wenn die begrenzende Linie krumm ist? Dafür sind keine allgemeinen Formeln bekannt. Man kann dieses Problem aber näherungsweise Lösen, indem man die Flächen mit bekannten Formen annähert.
[Bearbeiten] Das Integral als Fläche unter einer Funktion
Die Integralrechnung ist neben der Differentialrechnung der wichtigste Zweig der mathematischen Disziplin der Analysis. Das Integral ordnet einer Funktion für einen gegebenen Integrationsbereich (von bis) einen Zahlwert (den Flächeninhalt) zu. Dieser Vorgang heißt Integration.
Das Integral wird im zweidimensionalen Koordinatensystem als die Fläche zwischen dem Graphen der Funktion und der x-Achse gedeutet, bei Funktionen mehrerer Veränderlicher entspricht es einem Volumen.
[Bearbeiten] Erläuterung:
Eine Funktion f hat die Form wie im Bild rechts. Gesucht wird die Fläche zwischen der Funktion und der x-Achse im Intervall [a,b].
Wie man nun deutlich sieht, wird die Fläche zwischen der Funktion und der x-Achse von a bis b durch die Flächen der Rechtecke angenähert (approximiert).
Der Unterschied zwischen der tatsächlichen Fläche und der mit den Rechtecken angenäherten wird nun immer geringer, je mehr Rechtecke man zwischen den Integrationsgrenzen einsetzt.
[Bearbeiten] Flächenberechnung mit Untersummen
Am Beispiel der einfachen linearen Funktion 
die wir als Ursprungsgerade kennen, wollen wir uns dem Problem annähern. Die Fläche die wir berechnen liegt zwischen 0 und 1 [0,1]
Man sieht deutlich, dass die Fläche der vier Rechtecke kleiner ist als die Fläche zwischen der Funktion und der x-Achse.
Diese Unterschied wird allerdings immer kleiner, je mehr Rechtecke man nimmt. Man muss das Intervall, welches man berechnen möchte, also einfach durch die Anzahl der Rechtecke Teilen.
Bei n Rechtecken ist die Breite der Rechtecke in Intervall [0,1] dann:
also bei 4 Rechtecken
Das erste Rechteck beginnt also bei 0 (man sieht es aber nicht, weil es auch eine Höhe von Null hat) Das zweite bei 0,25 das dritte bei 0,5 .....
Die Höhe der Rechtecke ergibt sich aus diesem x-Wert und dem dazugehörigen Funktionswert.
Allgemein betrachtet ergibt sich follgender Zusammenhang
n = Anzahl der Rechtecke
Delta x = (b-a)/n (1-0)/4 =1/4
Fläche eines Rechtecks
F=Delta x * f(xn)
Die Untersumme ergibt sich dann als die Summe aller n Rechtecke
